✎☛ Étudier la coplanarité de trois vecteurs : cas de vecteurs coplanaires

Méthode

Soit une base   \(\left(\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)\)  de l'espace.
Étudier la coplanarité de trois vecteurs  \(\overrightarrow{u}\) , \(\overrightarrow{v}\) et \(\overrightarrow{w}\) (où \(\overrightarrow{v}\) et \(\overrightarrow{w}\) ne sont pas colinéaires) revient à chercher s'il existe deux réels  \(a\) et \(b\) tels que  \(\overrightarrow{u}=a\overrightarrow{v}+b\overrightarrow{w}\) .
On traduit cette égalité vectorielle à l'aide des coordonnées des vecteurs et on résout le système obtenu d'inconnues \(a\) et \(b\) .

Énoncé
Dans une base \(\left(\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)\)  de l'espace, on donne les vecteurs  \(\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} -1 \\3\\ 2\\\end{pmatrix}\) ,  \(\overrightarrow{v}\begin{pmatrix} 4 \\0\\ 2\\\end{pmatrix}\)  et  \(\overrightarrow{w}\begin{pmatrix} -7 \\9\\ 4\\\end{pmatrix}\) . Les vecteurs  \(\overrightarrow{u}\) , \(\overrightarrow{v}\) et \(\overrightarrow{w}\) sont-ils coplanaires ?

Solution

Les vecteurs \(\overrightarrow{v}\) et \(\overrightarrow{w}\) ne sont pas colinéaires.
On cherche \(a\) et \(b\) réels tels que  \(\overrightarrow{u} = a\overrightarrow{v}+b\overrightarrow{w}\) , ce qui équivaut à :  \(\begin{cases} -1=4a-7b\\ 3=9b \\ 2=2a+4b \end{cases}\) .
La deuxième équation donne : \(b=\dfrac13\) .
On remplace cette valeur de \(b\) dans les deux autres équations pour trouver \(a\) :  \(\begin{cases} -1=4a-\dfrac73\\ 2=2a+\dfrac43 \end{cases}\) .
On en déduit : \(\begin{cases} 4a=-1+\dfrac73=\dfrac43\\ 2a=2-\dfrac43=\dfrac23 \end{cases}\) .
Les deux équations donnent :  \(a=\dfrac13\) .
On vérifie que le couple \(\left(\dfrac13~;~\dfrac13\right)\) e st bien solution du système de trois équations.
Conclusion : le système admet un unique couple solution  \(\left(\dfrac13~;~\dfrac13\right)\) . 
On a alors  \(\overrightarrow{u} = \dfrac13\overrightarrow{v}+\dfrac13\overrightarrow{w}\) .
Les trois vecteurs \(\overrightarrow{u}\) , \(\overrightarrow{v}\) et \(\overrightarrow{w}\) sont donc coplanaires.